Я переехал в другой город в середине процесса подачи заявления, должен ли я сообщить об этом в Approbationsbehörde?

Да, всегда сообщайте об этом, и делайте это в письменной форме. Несколько практических моментов:
• Отправьте короткое письмо или электронное письмо с вашим номером дела (Aktenzeichen), старым и новым адресом, а также датой переезда. Попросите краткое подтверждение получения.
• Сначала сделайте Ummeldung в Bürgeramt, а затем приложите новый Meldebescheinigung. Многие органы власти хотят официальное подтверждение, а не просто ваше слово.
• Если вы остаетесь в том же Bundesland, дело остается в том же органе, и ничего не начинается заново. Переезд в другой Bundesland — это другая ситуация, и обычно это означает новое заявление там.
Большинство задержек, которые мы видим после переезда, вызваны не самим переездом, а тем, что решения отправляются по адресу, который вы больше не проверяете.